Konvergenz und Grenzwert von Zahlenfolgen

Eine Zahl aa heißt genau dann Grenzwert einer Zahlenfolge ana_n, wenn es für jedes ϵ>0\epsilon>0 ein n0∈Nn_0\in \dom N gibt, so dass ∣an−a∣<ϵ|a_n-a|<\epsilon für alle n≥n0n\geq n_0. Man schreibt dann auch
a=lim⁡n→∞ana=\lim_{n\rightarrow\infty} a_n
oder kürzer
an→aa_n\rightarrow a.
Das Symbol lim⁡\lim kommt aus dem Lateinischen von Limes. In formaler Schreibweise lautet die Definition:
a=lim⁡an  ⟺  ∀ϵ>0 ∃n0∈N ∀n≥n0:∣an−a∣<ϵa=\lim a_n \iff \forall \epsilon>0 \, \exists n_0\in \dom N \, \forall n\geq n_0: |a_n-a|<\epsilon
Die Definition sagt nichts anderes aus, als dass in jeder ϵ\epsilon-Umgebung um den Grenzwert fast alle Glieder der Folge liegen, also alle bis auf endlich viele Ausnahmen.
Das n→∞n\rightarrow\infty unter dem Limessymbol kann auch weggelassen werden, da für Folgen klar ist, das nn gegen unendlich strebt.
Wenn eine Folge einen Grenzwert besitzt, heißt sie konvergent, ansonsten divergent.
 
 

Beispiele

Konstante Folge

Die Folge an=ca_n=c heißt konstante Folge. Sie ist für jede reelle Zahl cc konvergent und es gilt ac→ca_c\to c. In jeder ϵ\epsilon-Umgebung um cc liegen alle Folgenglieder.
Die Folge an=1na_n=\dfrac 1 n konvergiert gegen 00. Wenn ϵ>0\epsilon>0 vorgegeben ist, wählen wir nϵ>1ϵn_\epsilon>\dfrac 1 \epsilon und es gilt: ∣an∣=1n<1nϵ<ϵ|a_n|=\dfrac 1 n< \dfrac 1 {n_\epsilon}<\epsilon. Folgen mit Grenzwert 00 heißen Nullfolgen.
Die Folge an=na_n=n ist nicht konvergent. Sie wächst über alle Maßen und ist bestimmt divergent.

Beispiel 16LW

Die Folge an=(−1)na_n=(-1)^n ist divergent. Zwar liegen in jeder ϵ\epsilon-Umgebung von 1 bzw. -1. unendlich viele Folgenglieder; beide Werte sind damit Häufungspunkte der Folge. Keiner von beiden ist Grenzwert, da außerhalb der ϵ\epsilon-Umgebung nicht nur endlich viele Folgenglieder liegen.

Eine Folge kann mehrere Häufungspunkte haben, im Extremfall sogar unendlich viele (vgl. Beispiel 16BB). Damit stellt sich die Frage, ob eine Zahlenfolge auch mehrere Grenzwerte besitzen kann. Es zeigt sich, dass der Grenzwert immer eindeutig bestimmt ist.

Satz 5224B (Eindeutigkeit des Grenzwerts)

Wenn eine Zahlenfolge konvergiert, so ist ihr Grenzwert eindeutig bestimmt. Eine Zahlenfolge kann also nicht gegen zwei verschiedene Grenzwerte konvergieren.

Beweis

Seien aa und bb mit a≠ba\neq b zwei Grenzwerte der Zahlenfolge (an)(a_n). Wir wählen ϵ=∣a−b∣3\epsilon=\dfrac {|a-b|} 3. Dann gilt Uϵ(a)∩Uϵ(b)=∅U_\epsilon(a)\cap U_\epsilon(b)=\emptyset. Da aa Grenzwert der Folge ist, liegen ab einem gewissen NN alle Folgenglieder in Uϵ(a)U_\epsilon(a), damit können aber in Uϵ(b)U_\epsilon(b) nur endlich viele Folgenglieder liegen, im Widerspruch dazu, dass auch bb Grenzwert sein sollte. □\qed

Satz 5729G (Beschränktheit konvergenter Folgen)

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis

Sei aa der Grenzwert der Folge, dann liegen innerhalb einer beliebigen ϵ\epsilon-Umgebung um aa fast alle Folgenglieder und außerhalb nur endlich viele. Nach Satz 5223B ist diese Menge endlich vieler Folgenglieder beschränkt, genauso wie die ϵ\epsilon-Umgebung. Also ist die Folge beschränkt. □\qed

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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