Darstellungssatz von Stone

Der Darstellungssatz für Boolesche Algebren (auch: Darstellungssatz von Stone) besagt, dass jede Boolesche Algebra zu einer Mengenalgebra isomorph ist.

Satz

Sei ⟨B,∧,∨,¬,0,1⟩\langle B,\wedge,\lor,\neg,0,1\rangle eine Boolesche Algebra. Dann gibt es eine Menge MM und eine injektive Abbildung h ⁣: B→P(M)h\colon\, B\to \mathcal P(M), sodass für alle b,c∈Bb,c\in B gilt:
  • h(0)=∅, h(1)=Mh(0)=\emptyset,\, h(1)=M
  • h(b∧c)=h(b)∩h(c)h(b\wedge c)=h(b)\cap h(c)
  • h(b∨c)=h(b)∪h(c)h(b\lor c)=h(b)\cup h(c)
  • h(¬b)=M∖h(b)h(\neg b)=M\setminus h(b)
Die Boolesche Algebra ist also isomorph zu der Mengenalgebra auf h(B)h(B).

Beweis

Sei MM die Menge aller Ultrafilter auf BB. Für b∈Bb\in B definiere h(b)={U∈M∣b∈U}h(b)=\lbrace U\in M\mid b\in U\rbrace. Dann gilt:
  • Injektivität: Sei b≠cb\neq c, also b¬≤cb\not\le c oder c¬≤bc\not\le b. Ohne Einschränkung gelte b¬≤cb\not\le c. Daher ist {b∧(¬c)}≠{∅}\lbrace b\wedge (\neg c)\rbrace\neq\lbrace\emptyset\rbrace, lässt sich also zu einem Ultrafilter erweitern. Dieser enthält bb aber nicht cc, also h(b)≠h(c)h(b)\neq h(c)
  • h(0)=∅h(0)=\emptyset und h(1)=Mh(1)=M, denn kein Ultrafilter enthält die 00 und jeder Ultrafilter enthält die 11
  • h(b∧c)=h(b)∩h(c)h(b\wedge c)=h(b)\cap h(c), weil für jeden Filter UU gilt: b∧c∈U⇔{b,c}⊆Ub\wedge c\in U\Leftrightarrow \lbrace b,c\rbrace\subseteq U
  • h(b∨c)=h(b)∪h(c)h(b\lor c)=h(b)\cup h(c)
    • "⊆\subseteq": Sei UU Ultrafilter mit b∨c=¬(¬b∧¬c)∈Ub\lor c=\neg(\neg b\wedge\neg c)\in U, angenommen b,c∉Ub,c\notin U, also {¬b,¬c}⊆U\lbrace\neg b,\neg c\rbrace\subseteq U, und daher ¬b∧¬c∈U\neg b\wedge\neg c\in U, dies steht im Widerspruch dazu, daß UU Ultrafilter ist.
    • "⊇\supseteq": Sei UU Ultrafilter mit b∨c∉Ub\lor c\notin U, dann ist ¬b∧¬c=¬(b∨c)∈U\neg b\wedge\neg c=\neg(b\lor c)\in U, also b∉Ub\notin U und c∉Uc\notin U
  • h(¬b)=M∖h(b)h(\neg b)=M\setminus h(b), weil ¬b∈U⇔b∉U\neg b\in U\Leftrightarrow b\notin U □\qed

Dualitätstheorie

Der Darstellungssatz von Stone macht eigentlich eine noch präzisere Aussage und lässt sich zu einer Dualitätstheorie ausbauen.
Ist BB eine Boolesche Algebra und steht 2:={0,1}2:=\{0,1\} für die zweielementige Boolesche Algebra, so sei XX der Raum der Homomorphismen B→2B\rightarrow 2. Dieser Raum ist eine abgeschlossene Menge in 2B={0,1}B2^B=\{0,1\}^B, wobei letzterer mit der Produkttopologie versehen sei. Daher ist XX ein total unzusammenhängender, kompakter Hausdorffraum; man nennt ihn den zu BB dualen Raum. Daher nennt man total unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume auch Boolesche Räume.
Ist umgekehrt XX ein Boolescher Raum, so sei BB die Boolesche Algebra der offen-abgeschlossenen Mengen in XX; diese nennt man die zu XX duale Boolesche Algebra.
Der Darstellungssatz von Stone sagt nun aus, dass jede Boolesche Algebra zu ihrem Bidual isomorph ist, das heißt zur dualen Algebra ihres dualen Raums. Daher kann man genauer sagen, dass jede Boolesche Algebra zu einer Mengenalgebra isomorph ist, wobei die Mengen genau die offen-abgeschlossenen Mengen eines total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorffraumes sind.
Die Dualität gilt auch für die Booleschen Räume: Jeder Boolesche Raum ist homöomorph zu seinem Bidual, das heißt zum dualen Raum seiner dualen Booleschen Algebra.

Literatur

  • Paul R. Halmos: Lectures on Boolean Algebra, Springer-Verlag (1974), ISBN 0-387-90094-2
  • Stone, Marshall Harvey: The theory of representations for Boolean algebras, Transactions of the American Mathematical Society 40, 1936.
  • Koppelberg, Sabine: Handbook of Boolean Algebras, Vol. 1, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1989.
 
 

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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