Liouvillescher Approximationssatz

Satz 164C (Liouvillescher Approximationssatz)

Ist zm=pmqmz_m = \dfrac{p_m}{q_m} mit zm→zz_m \to z für m→∞m \to \infty eine rationale approximierende Folge der algebraischen Zahl zz vom Grad n>1n > 1, dann gilt:
∣z−zm∣>1qmn+1 |z - z_{m}| > \dfrac{1}{q_{m}^{n+1}}\,

Beweis

Sei nun also zz eine algebraische Zahl vom Grad n>1n > 1, die
f(z)=anzn+⋯+a1z+a0=0, (n>1, an≠0) f(z) = a_{n}z^{n} + \dots + a_{1}z + a_{0} = 0,\, (n>1,\, a_{n} \ne 0)
erfüllt. Weiterhin sei zm=pmqmz_m = \dfrac{p_m}{q_m} wie oben.
Dann erhalten wir
f(zm)=f(zm)−f(z)=f(z_{m}) = f(z_{m}) - f(z) = a1(zm−z)+a2(zm2−z2)+…a_{1}(z_{m}-z) + a_{2}(z_{m}^{2} - z^{2}) + \dots +an(zmn−zn)  + a_{n}(z_{m}^{n} - z^{n})\,
Nun teilen wir beide Seiten der Gleichung durch zm−zz_m-z und benutzen die algebraische Identität
un−vnu−v=un−1+un−2v+un−3v2+…\dfrac{u^{n}-v^{n}}{u-v}=u^{n-1} + u^{n-2}v + u^{n-3}v^{2} + \dots +uvn−2+vn−1 + uv^{n-2} + v^{n-1}\,
Es ergibt sich also
f(zm)zm−z=a1+a2(zm+z)+\dfrac{f(z_{m})}{z_{m}-z} = a_{1} + a_{2}(z_{m} + z) + a3(zm2+zmz+z2)+⋯+an(zmn−1+⋯+zn−1) a_{3}(z_{m}^{2} + z_{m}z + z^{2}) + \dots + a_{n}(z_{m}^{n-1} + \dots + z^{n-1})\,
Da ∣zm−z∣<1|z_m-z| < 1 für ausreichend großes mm gilt, können wir folgende grobe (aber vollkommen ausreichende) Abschätzung machen:
∣f(zm)zm−z∣<∣a1∣+2∣a2∣(∣z∣+1)+\ntxbraceI{\dfrac{f(z_{m})}{z_{m} - z}} < |a_{1}| + 2|a_{2}|(|z| + 1) + 3∣a3∣(∣z∣+1)2+… 3|a_{3}|(|z| + 1)^{2} + \dots +n∣an∣(∣z∣+1)n−1= ⁣:M + n|a_{n}|(|z| + 1)^{n-1} =\colon M\,
MM ist eine Konstante, da wir zz als feste Zahl angenommen haben. Wenn wir jetzt mm so groß wählen, so dass in zm=pmqmz_m=\dfrac{p_m}{q_m} der Nenner qm>Mq_m > M ist, erhalten wir die Ungleichungskette
∣z−zm∣>∣f(zm)∣M>∣f(zm)∣qm |z - z_{m}| > \dfrac{|f(z_{m})|}{M} > \dfrac{|f(z_{m})|}{q_{m}}\, (1)
Wenn wir zur Abkürzung pp für pmp_m und qq für qmq_m schreiben, dann ist
∣f(zm)∣=∣a0qn+a1qn−1p+⋯+anpnqn∣ |f(z_{m})| = \ntxbraceI{\dfrac{a_{0}q^{n} + a_{1}q^{n-1}p + \dots + a_{n}p^{n}}{q^{n}}}\, (2)
Nun kann die Zahl zmz_m keine Nullstelle des Polynoms ff sein, denn sonst könnte man (x−zm)(x - z_m) aus f(x)f(x) ausklammern. Daraus würde aber im Widerspruch zur Voraussetzung (der Grad von zz ist nn) folgen, dass zz einer Gleichung genügen würde, deren Grad <n < n wäre. Daher ist f(zm)≠0f(z_m) \ne 0. Setzt man (2) in (1) ein, erhält man einen ganzzahligen Zähler und den Nenner qn+1q^{n+1}. Dieser Zähler ist ungleich 00, also vom Betrag größer oder gleich 11. Somit ergibt sich:
∣z−zm∣>∣a0qn+⋯+anpn∣∣qn+1∣≥1qn+1=1qmn+1 |z - z_{m}| > \dfrac{|a_{0}q^{n} + \dots + a_{n}p^{n}|}{|q^{n+1}|} \geq \dfrac{1}{q^{n+1}} = \dfrac{1}{q_{m}^{n+1}}\, □\qed
 
 

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Transzendente Zahl aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Algebraische Gleichungen