Rechenregeln für Quantoren

Satz

Seien P(x)P(x), R(x)R(x), Q(x,y)Q(x,y) und S(y)S(y) Prädikate. Dann gelten die folgenden Regeln: (i) DeMorgansche Gesetze für ∀\forall und ∃\exist
¬∃x:P(x)  ⟺  ∀x:¬P(x)\not\exists x: P(x)\iff \forall x:\not P(x) und ¬∀x:P(x)  ⟺  ∃x:¬P(x)\not\forall x: P(x)\iff \exist x:\not P(x) :
(ii) Vertauschbarkeit gleicher Quantoren
∃x:∃y:Q(x,y)  ⟺  ∃y:∃x:Q(x,y)\exist x:\exist y:Q(x,y)\iff \exist y:\exist x:Q(x,y) und ∀x:∀y:Q(x,y)  ⟺  ∀y:∀x:Q(x,y)\forall x:\forall y:Q(x,y)\iff \forall y:\forall x:Q(x,y)
(iii): ∃x:∀y:Q(x,y)  ⟹  ∀y:∃x:Q(x,y)\exist x:\forall y:Q(x,y)\implies \forall y:\exist x:Q(x,y)
(iv): ∃x:P(x)∨∃x:R(x)  ⟺  ∃x:(P(x)∨R(x))\exist x:P(x)\or \exist x: R(x)\iff \exists x:(P(x)\or R(x)) und ∀x:P(x)∧∀x:R(x)  ⟺  ∀x:(P(x)∧R(x))\forall x:P(x)\and \forall x: R(x)\iff \forall x:(P(x)\and R(x))
(v): ∀x:P(x)∨∀x:R(x)  ⟹  ∀x:(P(x)∨R(x))\forall x:P(x)\or \forall x: R(x)\implies \forall x:(P(x)\or R(x)) und ∃x:P(x)∧∃x:R(x)  ⟹  ∃x:(P(x)∧R(x))\exists x:P(x)\and \exists x: R(x)\implies \exists x:(P(x)\and R(x))
 
 

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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