Rechenregeln für Quantoren

Satz

Seien \(\displaystyle P(x)\), \(\displaystyle R(x)\), \(\displaystyle Q(x,y)\) und \(\displaystyle S(y)\) Prädikate. Dann gelten die folgenden Regeln:(i) DeMorgansche Gesetze für \(\displaystyle \forall\) und \(\displaystyle \exist\)
\(\displaystyle \not\exists x: P(x)\iff \forall x:\not P(x)\) und \(\displaystyle \not\forall x: P(x)\iff \exist x:\not P(x)\) :
(ii) Vertauschbarkeit gleicher Quantoren
\(\displaystyle \exist x:\exist y:Q(x,y)\iff \exist y:\exist x:Q(x,y)\) und \(\displaystyle \forall x:\forall y:Q(x,y)\iff \forall y:\forall x:Q(x,y)\)
(iii): \(\displaystyle \exist x:\forall y:Q(x,y)\implies \forall y:\exist x:Q(x,y)\) (iv): \(\displaystyle \exist x:P(x)\or \exist x: R(x)\iff \exists x:(P(x)\or R(x))\) und \(\displaystyle \forall x:P(x)\and \forall x: R(x)\iff \forall x:(P(x)\and R(x))\)(v): \(\displaystyle \forall x:P(x)\or \forall x: R(x)\implies \forall x:(P(x)\or R(x))\) und \(\displaystyle \exists x:P(x)\and \exists x: R(x)\implies \exists x:(P(x)\and R(x))\)
 
 

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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