Fläche von Kreis und Ellipse mittels Integralrechnung

Beispiel 15W0

Aus der Gleichung der Ellipse in Normalform \(\displaystyle \dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1\) (Formel 15VN) leiten wir die Funktion \(\displaystyle y=\dfrac b a \sqrt{a^2-x^2}\) für eine Halbellipse ab.
Der Flächeninhalt \(\displaystyle F\) der Ellipse kann dann durch das Integral
\(\displaystyle F=2\cdot\int\limits_{-a}^a\dfrac b a \sqrt{a^2-x^2}\d x\)
ermittelt werden.
Nach Beispiel 5316C gilt:
\(\displaystyle \int\limits \sqrt{a^2-x^2}\d x=-\dfrac {a^2} 2 \arccos \dfrac x a+ \dfrac {x} 2 \sqrt{a^2-x^2 }\)
also \(\displaystyle F=2\cdot\dfrac b a\cdot{\ntxbraceL{-\dfrac {a^2} 2 \arccos \dfrac x a+ \dfrac {x} 2 \sqrt{a^2-x^2 }}\, }_{\uminus a}^a =\pi a b\).
Für den Kreis \(\displaystyle r=a=b\) ergibt sich mit \(\displaystyle \pi r^2\) die bekannte Formel.
 
 

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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