Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Im Jahr 1903 zeigt Bertrand Russell durch seine berühmte Antimonien, dass eine uneingeschränkte Mengenbildung, wie sie die Cantorsche Mengenlehre erlaubt, zu Widersprüchen führt. Ein Weg zur besseren Fundierung der Mengenlehre ist das von Zermelo und Fraenkel entwickelte Axiomensystem, die sogenannte Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF).

Wird zu dieser das Auswahlaxiom hinzugefügt, so spricht man von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) (das C steht hierbei für "choice", das englische Wort für Auswahl).

 
 

Sprache und Symbole

Variable für Mengen

\(\displaystyle a, b, c, \dots\), \(\displaystyle x, y, z, \dots\)

Logische Symbole

\(\displaystyle \neq\) (Negation), \(\displaystyle \and\) (Konjunktion, "und"), \(\displaystyle \or\) (Disjunktion, "oder"), \(\displaystyle \implies\) (Implikation, "wenn ... dann"), \(\displaystyle \iff\) (genau dann ... wenn),

\(\displaystyle \forall\) (Allquantor, für alle), \(\displaystyle \exists\) (Existenzquantor, es gibt)

Grundprädikate

\(\displaystyle a = b\) (Gleichheit),

\(\displaystyle a \in b\) (Elementbeziehung)

Axiome

Extensionalitätsaxiom (ExtZF)

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

\(\displaystyle \forall x (x \in a \iff x \implies b ) \implies a = b\) :> (ExtZF)

Nullmengenaxiom: (NullZF)

Dieses Axiom postuliert die Existenz der leeren Menge.

\(\displaystyle \exists y \forall x ( x \notin y )\).

Paarmengenaxiom: (PaarZF)

Zu zwei Mengen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) existiert die Menge \(\displaystyle \{a,b\}\).

\(\displaystyle \exists y \forall x ( x \in y \iff x = a \or x = b )\).

Summenaxiom: (SumZF)

Ist \(\displaystyle a\) eine Menge, so ist \(\displaystyle \cup a\) ebenfalls eine Menge.

\(\displaystyle \forall a\exists y \forall z (z \in y \iff \exists x \in a : z \in x )\).

Potenzmengenaxiom: (PotZF)

Dieses Axiom stellt sicher, dass die Potenzmengen existieren

\(\displaystyle \forall a\exists y \forall z (z \in y \iff z \subseteq a )\).

Ersetzungsschema: (ErsSZF)

\(\displaystyle \forall x\forall y\forall z (\phi(x,y) \and \phi(x,z) \implies y = z ) \) \(\displaystyle \implies\exists u \forall y (y \in u \implies\exists x \in a :\phi(x,y))\)

Unendlichkeitsaxiom: (UnZF)

Postuliet die Existenz einer unendlichen Menge.

\(\displaystyle \exists x ( \OO \in x \and \forall y (y \in x \implies y+1 \in x)\)

Fundierungsaxiom: (FundZF)

Jede nichtleere Menge \(\displaystyle a\) enthält ein Element \(\displaystyle x\), das zu \(\displaystyle a\) disjunkt ist.

\(\displaystyle a \neq Ø \implies \exists x \in a : x \cap a = \OO\).

Auswahlaxiom: (ACZF)

\(\displaystyle \forall x\in a : x\notin \OO \implies\exists f : (Fkt(f) \and\forall x\in a : f(x)\in x )\).

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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Grundlagen der Mathematik