Übersicht über die Zahlenbereiche

Als Zahlenbereiche sieht man Zahlenmengen an, deren Elemente gemeinsame Eigenschaften haben. Dabei beziehen sicher diese Eigenschaften oftmals auf die Durchführbarkeit gewisser (arithmetischer) Operationen innerhalb des Zahlenbereiches.

Neue Zahlenbereiche sind historisch meist dadurch entstanden, dass bestehende erweitert wurden, um die beschränkte Ausführbarkeit von Operationen zu überwinden.

 
 

Übliche Zahlenbereiche

Natürliche Zahlen

Mathematisches Symbol: \(\displaystyle \mathbb{N}\)

Beispiele: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 819567021562904652095620956207\)

Natürliche Zahlen sind aus dem Grundbedürfnis der Menschen erwachsen, Dinge zu zählen, d. h. die Anzahl von Objekten aus dem Lebensumfeld zu bestimmen.

In den natürlichen Zahlen sind Addition und Multiplikation uneingeschränkt ausführbar.

Auch wenn es sich bei den natürlichen Zahlen um den einfachsten Zahlenbereich handelt, gibt es doch eine reichhaltige Theorie - die Zahlentheorie - die sich mit den Eigenschaften spezieller natürlicher Zahlen, wie z.B. der Primzahlen befasst.

Ganze Zahlen

Mathematisches Symbol: \(\displaystyle \mathbb{Z}\)

Beispiele: \(\displaystyle -7\), \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 7\)

Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen, die es gestattet, uneingeschränkt zu subtrahieren. Dazu werden die natürlichen Zahlen um negative Zahlen ergänzt.

Gebrochene Zahlen

Mathematisches Symbol: \(\displaystyle \mathbb{Q}^+\) oder \(\displaystyle \mathbb{Q}^*\)

Beispiele: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle \dfrac 2 7\), \(\displaystyle \dfrac 9 4 \)

Die gebrochenen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen, die es gestattet, uneingeschränkt zu dividieren. Dazu werden die natürlichen Zahlen um Brüche ergänzt.

Rationale Zahlen

Mathematisches Symbol: \(\displaystyle \mathbb{Q}\)

Beispiele: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle \dfrac 2 7\), \(\displaystyle -\dfrac 2 7\), \(\displaystyle \dfrac 9 4 \), \(\displaystyle -\dfrac 9 4 \)

Die rationalen Zahlen sind einerseits eine Erweiterung der ganzen Zahlen um Brüche als auch der gebrochenen Zahlen um negative Zahlen. In den rationalen Zahlen sind also alle vier Grundrechenarten uneingeschränkt ausführbar.

Reelle Zahlen

Mathematisches Symbol: \(\displaystyle \mathbb{R}\)

Beispiele: \(\displaystyle \sqrt{2}\), \(\displaystyle \sqrt[8]{519}\), \(\displaystyle \pi\), \(\displaystyle \e\)

Die nur eingeschränkte Durchführbarkeit des Wurzelziehens innerhalb der rationalen Zahlen (Irrationalität von \(\displaystyle \sqrt 2\), Beispiel 5225H) führte zu der Erkenntnis, dass die rational Zahlen "Lücken" aufweisen. Um diese zu füllen wurden die reellen Zahlen eingeführt.

Komplexe Zahlen

Mathematisches Symbol: \(\displaystyle \mathbb{C}\)

Beispiele: \(\displaystyle \i\), \(\displaystyle 7+3\i\), \(\displaystyle 3-4\i\)

Die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen ist dadurch motiviert, dass z.B. Gleichungen wie \(\displaystyle x^{2} = -1\) nicht lösbar sind. Die Erweiterung wird vorgenommen, indem eine imaginäre Einheit \(\displaystyle \i\) mit der Definition \(\displaystyle \i^2=-1\) eingeführt wird.

Bei der Erweiterung zu den komplexen Zahlen muss man jedoch erstmals auch Eigenschaften aufgeben. Die gewohnte lineare Ordnung der reellen Zahlen, die man sich mittels eines Zahlenstrahls veranschaulichen kann, kann in den komplexen Zahlen nicht mehr aufrecht erhalten werden.

Mengnbeziehungen zwischen den Zahlenbereichen

Die durch Erweiterungen enstandenen Zahlenbereiche enthalten immer die Basisbereiche als Teilmengen, daher kann man die folgenden Inklusionsbeziehungen aufstellen.

\(\displaystyle \N\subset\Z\), \(\displaystyle \N\subset\Q^+\),
\(\displaystyle \Z,\Q^+ \subset\Q\),
\(\displaystyle \Q\subset\R\),
\(\displaystyle \R\subset\C\).

Ohne gebrochene Zahlen

\(\displaystyle \mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \sub \mathbb{R} \sub \mathbb{C}\).

Exotische Zahlenbereiche

Neben den oben erwähnten üblichen Zahlenbereichen gibt es auch "exotische" Zahlenbereiche, wobei sich diese Bezeichnung daran orientiert, dass sich diese unser Anschauung teilweise oder gänzlich entzeihen. Diese Einteilung ist zu einem gewissen Grade willkürlich, da sich z.B. auch die komplexen Zahlen schon als gänzlich unanschaulich angesehen werden können.

Beispiele hierfür sind die folgenden Zahlenbereiche:

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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Grundlagen der Mathematik