Wurzeln

Die Wurzel ist das Ergebnis der Rechenoperation Radizieren, einer Umkehrung des Potenzierens.

Schreibweise

\(\displaystyle \rm {Radix} = \sqrtN{{\rm {Exponent}}}{\rm {Radikand}} \)

Dies entspricht der Fragestellung: Für welche Zahl (Radix) gilt:

\(\displaystyle \rm {Radix}^{\rm{Exponent}} = \rm{Radikand}\) ?

Beispiel

\(\displaystyle \sqrtN{3}{8} = 2 \Leftrightarrow 2^3 = 8 \) (sprich: „Dritte Wurzel aus 8“)

Bei der Schreibweise ist es üblich, dass der Wurzelexponent, der in der Regel links oben angeschrieben wird, weggelassen wird, falls er den Wert 2 hat:

\(\displaystyle \sqrtN{2}{x} =: \sqrt{x}\)

In diesem Falle handelt es sich um eine Quadratwurzel. Oftmals wird die Quadratwurzel einfach die Wurzel genannt. Wurzeln mit Wurzelexponent \(\displaystyle 3\) werden als Kubikwurzeln bezeichnet.

Es ist zu beachten:

Die oben genannte Fragestellung hat oft mehrere Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen, der Operator \(\displaystyle \sqrt{\cdot} \) bedeutet dann grundsätzlich die positive Lösung.

 
 

Beispiel

Die Gleichung \(\displaystyle x^2 = 4 \) hat die beiden reellen Lösungen 2 und -2. Der Term \(\displaystyle \sqrtN{2}{4} \) hat dabei den Wert 2 und nicht den Wert -2.

Funktionen der Form

\(\displaystyle x\mapsto\sqrtN{n}x\) oder allgemeiner \(\displaystyle x\mapsto\sqrtN{n}{x^m}\)

heißen Wurzelfunktionen. Sie sind Potenzfunktionen, es gilt \(\displaystyle \sqrtN{n}{x^m}=x^\dfrac{m}{n}\).

Daraus folgt:

\(\displaystyle \sqrtN{n}{x^n} = x \), \(\displaystyle n \neq 0 \).

Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich somit aus jenen für Potenzen.

Die Wurzelgesetze

Seien \(\displaystyle 0<n,m\in \N\) natürliche Zahlen und \(\displaystyle 0<a,b\in\R\) reelle Zahlen, dann gilt:

  1. \(\displaystyle \sqrtN{n}{a}\cdot\sqrtN{n}{b}=\sqrtN{n}{a\cdot b}\)
  2. \(\displaystyle \sqrtN{m}{\sqrtN{n}{a}}=\sqrtN{m\cdot n}{a}\)
  3. \(\displaystyle \dfrac{\sqrtN{n}{a}}{\sqrtN{n}{b}}=\sqrtN{n}{\dfrac{a}{b}}\)
  4. \(\displaystyle (\sqrtN{n}{a})^m=\sqrtN{n}{a^m}\) für \(\displaystyle a \ge 0\)
  5. \(\displaystyle a^{\dfrac{m}{n}}=\sqrtN{n}{a^m}\)
  6. \(\displaystyle a^{-\dfrac{m}{n}}=\dfrac{1}{\sqrtN{n}{a^m}}\)

Wurzeln aus negativen Zahlen

Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise

\(\displaystyle (-2)^3=-8\, ,\)

und \(\displaystyle -2\) ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz \(\displaystyle -8\) ist.

Die beiden folgenden Positionen werden vertreten:

\(\displaystyle \sqrtN{n}{-x}=-\sqrtN{n}{x}\).

Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist

\(\displaystyle -2=\sqrtN{3}{-8}\ne\sqrtN{6}{(-8)^2}=\sqrtN{6}{64}=+2\, \)

Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Der Wunsch nach Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen.

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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Grundlagen der Mathematik