Teilmengen

Aus einer Menge \(\displaystyle M\) kann man Teile dieser Menge auswählen. Wenn \(\displaystyle H(x)\) eine Eigenschaft ist, dann kann man die folgende Menge bilden: \(\displaystyle M_H:=\{x| x\in M \and H(x)\}\). Diese Menge enthält alle Elemente aus \(\displaystyle M\), die der Eigenschaft \(\displaystyle H(x)\) genügen. Man sagt \(\displaystyle M_H\) ist eine Teilmenge von \(\displaystyle M\) und schreibt \(\displaystyle M_H\subseteq M\). Die Bezeichnung Teilmenge ist dadurch gerechtfertigt, dass jedes Element aus \(\displaystyle M_H\) auch Element von \(\displaystyle M\) ist.

Wir definieren allgemein:

\(\displaystyle A\subseteq B :\iff \forall x: x\in A \implies x\in B\).

Ist \(\displaystyle A\) eine Teilmenge von \(\displaystyle B\), so heißt \(\displaystyle B\) Obermenge zu \(\displaystyle A\).

Die Teilmengenbeziehung wird auch Inklusion genannt.

 
 

Satz 12MN (Eigenschaften der Inklusion)

Für Mengen \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) gilt:

  1. Reflexivität
    \(\displaystyle A\subseteq A\)
  2. Antisymmetrie
    \(\displaystyle A\subseteq B \and B\subseteq A \implies A=B\)
  3. Transitivität
    \(\displaystyle A\subseteq B \and B\subseteq C \implies A \subseteq C\)
  4. \(\displaystyle \emptyset \subseteq A\)

Beweis

Die Behauptungen beweist man über Anwendung der Definition und die entsprechenden aussagenlogischen Beziehungen. \(\displaystyle \qed\)

Bemerkung

Nach Satz 12MN bildet die Inklusion eine teilweise Ordnung unter den Mengen. Man beachte aber, dass es auch nicht vergleichbare Mengen gibt (z.B. {1,2} und {2,3}); womit die Ordnung nicht linear ist.

Mit der vorliegenden Definition beinhaltet die Inklusion auch die Gleichheit der Mengen. Will man diese ausschließen so verwendet man das Symbol \(\displaystyle \subset\).

Die Notation ist jedoch nicht einheitlich. Teilweise wird auch \(\displaystyle \subset\) gebraucht, wenn die Gleichheit nicht explizit ausgeschlossen ist.

Für \(\displaystyle A\subseteq B\) kann man auch \(\displaystyle B\supseteq A\) schreiben.

Satz 12MO (Zusammenhang zwischen Element- und Teilmengenbeziehung)

Es gilt: \(\displaystyle a\in A \iff \{a\} \subseteq A\)

Venn-Diagramme

Venn-Diagramm der Teilmengenbeziehung

Venn-Diagramm der Teilmengenbeziehung

Zur Veranschaulichung der Beziehung zwischen Mengen verwendet man geschlossene, ebene Figuren; meistens Kreise. Diese Art der Darstellung wird Venn-Diagramm genannt.

Beispielsweise wird \(\displaystyle A\subseteq B\) in der nebenstehenden Grafik veranschaulicht.

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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Grundlagen der Mathematik