Stetigkeit

Die Definition der Stetigkeit kann von reellen Funktionen auf Funktionen mehrerer Veränderlicher übertragen werden. Eine Funktion \(\displaystyle f:\Rn\to\R\) heißt an der Stelle \(\displaystyle x^0\) stetig, wenn es zu jedem \(\displaystyle \epsilon>0\) ein \(\displaystyle \delta>0\) gibt, so dass für alle \(\displaystyle x\) aus \(\displaystyle ||x-x^0||<\delta\) auch \(\displaystyle |f(x)-f(x^0)|<\epsilon\) folgt.

In der Sprache der Umgebungen bedeutet dies, dass es zu jeder \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung von \(\displaystyle f(x^0)\) eine \(\displaystyle \delta\)-Umgebung \(\displaystyle U_\delta(x^0)\) von \(\displaystyle x^0\) gibt, so dass \(\displaystyle f(U_\delta(x^0))\subseteq U_\epsilon(f(x^0))\).

Sei \(\displaystyle E\subseteq D(f)\), dann heißt \(\displaystyle f\) auf \(\displaystyle E\) stetig, wenn \(\displaystyle f\) für alle \(\displaystyle x\in E\) stetig ist.

Die Funktion \(\displaystyle f\) ist auf \(\displaystyle E\) gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem \(\displaystyle \epsilon>0\) ein \(\displaystyle \delta>0\) gibt, so dass für alle \(\displaystyle x^1\), \(\displaystyle x^2\in E\) mit \(\displaystyle ||x^1-x^2||<\delta\) gilt: \(\displaystyle |f(x^1)-f(x^2)|<\epsilon\).

Aus der gleichmäßigen Stetigkeit auf \(\displaystyle E\) folgt stets die Stetigkeit.

Das Analogon von Satz 5225F gilt auch für Funktionen mehrerer Veränderlicher:

 
 

Satz 165R

Sei \(\displaystyle f:\Rn\to\R\) in einer Umgebung um \(\displaystyle x^0\) definiert. Dann ist \(\displaystyle f\) genau dann in \(\displaystyle x^0\) stetig, wenn \(\displaystyle \lim_{x\to x^0} f(x)=f(x^0)\) ist.

Beispiele

Die Funktion \(\displaystyle f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2\) aus Beispiel 165O ist auf ganz \(\displaystyle \R^2\) stetig.

Die Funktion \(\displaystyle f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\) aus Beispiel 165Q ist an der Stelle \(\displaystyle (x_1^0,x_2^0)=(0,0)\) nicht definiert. Setzen wir für \(\displaystyle f(0,0)=C\) mit einer beliebigen Zahl \(\displaystyle C\), so kann die Funktion dort niemals stetig sein, da der Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x\to x^0} f(x)\) nicht existiert.

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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Mehrdimensionale Analysis