Relationen

Seien \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle A_2\),... \(\displaystyle A_n\) Mengen. So versteht man unter einer \(\displaystyle n\)-stelligen Relation \(\displaystyle R\) eine Teilmenge \(\displaystyle R\subseteq{ A_1\cross A_2 \cross \dots \cross A}\).

Beispiel

In der euklidischen Ebene die Relation "kollinear", die für je drei Punkte festlegt, ob sie auf einer Gerade liegen. Hierbei handelt es sich um eine 3-stellige Relation. Die Beziehung "Punkt liegt auf Gerade" definiert eine zweistellige Relation zwischen den Punkten und Geraden der Ebene.

 
 

Binäre Relationen

Von besonderem Interesse sind die zweistelligen oder binären Relationen.

\(\displaystyle R\) ist ""binäre Relation"" in \(\displaystyle A\) \(\displaystyle :\iff R\subseteq A\cross A\).

Eine Relation ist damit nichts anderes als eine Korrespondenz von \(\displaystyle A\) in \(\displaystyle A\).

Wenn für zwei Elemente \(\displaystyle a,b\in A\) gilt, dass \(\displaystyle (a,b)\in R\), schreibt man auch \(\displaystyle aRb\) und drückt damit aus, dass \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) in Relation zueinander stehen.

Mit jeder binären Relation \(\displaystyle R\) ist auch \(\displaystyle R^{-1}\) eine Relation und mit zwei binären Relationen \(\displaystyle R\) und \(\displaystyle S\) auch die Verknüpfung \(\displaystyle R\circ S\) eine Relation ist.

Oft meint man binäre Relationen, wenn man von Relationen spricht.

Beispiele

Die \(\displaystyle \leq\)-Beziehung zwischen Zahlen ist eine Relation. Aber auch die Teilmengenbeziehung \(\displaystyle \subseteq\) in beliebigen Mengensystemen. Beides sind so genannte Ordnungsrelationen.

Die Relation "betragsmäßig gleich" ist eine Relation zwischen Zahlen.

Klassifikation binärer Relationen

Gemäß ihren Eigenschaften kann man die Relationen charakterisieren.

\(\displaystyle R\) ist ""reflexiv"" \(\displaystyle :\iff \forall x: xRx\)
\(\displaystyle R\) ist ""irreflexiv"" \(\displaystyle :\iff \forall x: \not xRx\)

Bei reflexiven Relationen stehen also die Elemente mit sich selbst in Beziehung; und bei irreflexiven Relationen steht dagegen kein Element mit sich selbst in Beziehung.

\(\displaystyle R\) ist ""symmetrisch"" \(\displaystyle :\iff \forall x,y: xRy\implies yRx\)

Diese Definition, kann man sofort zu \(\displaystyle R\) ist symmetrisch genau dann, wenn \(\displaystyle \forall x,y: xRy\;\iff\; yRx\) erweitern.

\(\displaystyle R\) ist ""asymmetrisch"" \(\displaystyle :\iff \forall x,y: xRy\;\implies \not yRx\)

Dies kann man auch wie folgt schreiben: \(\displaystyle \not \exists x,y: xRy\and yRx\).

\(\displaystyle R\) ist ""antisymmetrisch"" \(\displaystyle :\iff \forall x,y: xRy \and yRx \implies x=y\).

Mit jeder Relation \(\displaystyle R\) ist auch die Umkehrung \(\displaystyle R^{-1}\) reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, asymmetrisch oder antisymmetrisch. Außerdem folgt aus der Asymmetrie die Irreflexivität.

\(\displaystyle R\) ist ""transitiv"" \(\displaystyle :\iff \forall x,y,z: xRy \and yRz \implies xRz\)

Matrixdarstellung

Endliche zweistellige Relationen kann mit in der Form boolscher Matrizen darstellen. Sei \(\displaystyle A\) eine \(\displaystyle m\)-elementige und \(\displaystyle B\) eine \(\displaystyle n\)-elementige Menge.

Ist \(\displaystyle R\subseteq A\cross B\) eine Relation so definiert man ihre Matrix \(\displaystyle M_R=(m_{ij})_{i=1\dots m;\, j=1\dots n}\) mit

\(\displaystyle m_{ij} =\ntxbraceKO{ \begin{matrix} 1 & \iff (i,j)\in R \\ 0& \text{sonst} \end{matrix}}\)

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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Grundlagen der Mathematik