Projektive Ebenen

Wie sieht eine Geometrie ohne parallele Geraden aus? Um dies zu untersuchen verwenden wir die folgenden Axiome:

Inz4

Je zwei verschiedene Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.

Inz5

Auf jeder Geraden liegen mindestens drei Punkte.

Eine Struktur, die den Axiomen Inz1 bis Inz5 genügt heißt projektive Ebene.

Auf Inz2 können wir verzichten, da Inz5 es umfasst. Wegen Satz WH94 genügt für Inz4 die schwächere Formulierung, dass sich verschiedene Geraden in mindestens einem Punkt schneiden.

Durch die oben gewählte Formulierung der Axiome gilt jedoch offensichtlich:

 
 

Satz PW94

Jede projektive Ebene ist eine Inzidenzebene.

 

Die Umkehrung muss natürlich nicht gelten, wie die minimale Inzidenzebene aus Beispiel AJ15 zeigt, bei der auf jeder Gerade nur zwei Punkte liegen. Natürlich ist eine affine Ebenen keine projektive Ebene, da nach Axiome Inz4 keine Parallelen existieren.

Satz ME69

In einer projektiven Ebene gehen durch jeden Punkt mindestens drei Geraden.

Beweis

Zum Beweis von Satz ME69

Zum Beweis von Satz ME69

Nach Satz QQ23 bleibt lediglich der Fall auszuschließen, dass durch einen Punkt genau zwei Geraden gehen. Angenommen, der Punkt \(\displaystyle P\) liegt genau auf zwei Geraden \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\). Dann gibt es nach Inz5 auf jeder dieser Geraden mindestens einen weiteren Punkt \(\displaystyle A\in g\) bzw. \(\displaystyle B\in h\). \(\displaystyle P\) liegt nicht auf der Verbindungsgerade \(\displaystyle A\vgr B\), da sonst nach Satz WI24 die Geraden \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) gleich wären, im Widerspruch dazu, dass durch \(\displaystyle P\) zwei verschiedene Geraden gehen.

Nach Axiom Inz5 enthält die Gerade \(\displaystyle A\vgr B\) einen weiteren Punkt \(\displaystyle Q\), der von \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) verschieden ist. Nach Inz1 existiert die Verbindungsgerade \(\displaystyle P\vgr Q\), diese kann aber weder mit \(\displaystyle P\vgr A\) noch mit \(\displaystyle P\vgr B\) identisch sein. Damit gibt es eine dritte Gerade durch den Punkt \(\displaystyle P\), im Widerspruch zur Annahme, dass durch \(\displaystyle P\) genau zwei Geraden gehen. \(\displaystyle \qed\)

 

Satz ME69 erlaubt es ein Dualitätsprinzip für projektive Ebenen aufzustellen. Tauschen wir nämlich die Begriffe

Punkte mit Geraden und "Punkt liegt auf Gerade" mit "Gerade enthält Punkt", dann erhalten wir wieder eine projektive Ebene, nämlich die duale Ebene.

Beispiel (Fano-Ebene)

Abb. IP96: Veranschaulichung der Fano-Ebene; der Inkreis des Dreieck ist ebenfalls eine Gerade

Abb. IP96: Veranschaulichung der Fano-Ebene; der Inkreis des Dreieck ist ebenfalls eine Gerade

Inz5 fordert, dass alle Geraden mindestens drei Punkte enthalten und nach Satz ME69 wissen wir, dass durch jede Gerade mindestens drei Punkte gehen. In der in Abb. IP96 veranschaulichten projektiven Ebene hat jede Gerade genau drei Punkte und durch jeden Punkt gehen genau drei Geraden. Sie heißt Fano-Ebene[1].

Beispiel

Wir betrachten als Punkte alle Punkte auf der Oberfläche der Einheitskugel. Die Geraden seien die Großkreise. Dann sind die Axiome Inz2 und Inz3 und sogar Inz5 erfüllt, jedoch Inz1 nicht, denn für zwei diametral gegenüberliegende Punkte gibt es unendlich viele Großkreise, die diese Punkte enthalten.

Abb. AK83: Projektive Ebene auf der Kugeloberfläche. Die Punkte sind Paare sich diametral g egenüberliegender Punkte und die Geraden die Großkreise.

Abb. AK83: Projektive Ebene auf der Kugeloberfläche. Die Punkte sind Paare sich diametral g egenüberliegender Punkte und die Geraden die Großkreise.

Identifizieren wir wie in Abb. AK83 angedeutet diese diametral gegenüberliegenden Punkte und definieren diese Paare

als Punkte, ist nun auch Inz1 erfüllt. Die "Gerade" \(\displaystyle g\) ist z.B. genau der Großkreis durch die Punkte \(\displaystyle P\) und \(\displaystyle Q\). Die Geraden \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) schneiden sich im Punkt \(\displaystyle Q\). Damit handelt es sich nicht nur um eine Inzidenzstruktur, sondern sogar um eine projektive Ebene.

Satz PK75

In einer projektiven Ebene gibt es wenigstens vier verschiedene Punkte, von denen jeweils drei nicht kollinear sind. Es existieren also echte Vierecke.

 

Man kann die Axiomatik der projektivem Ebene auch basierend auf diesem Satz und den Axiomen Inz1 und Inz4 aufbauen. Der von uns gewählte Weg erscheint uns jedoch besser zu sein, da die gewählten Axiome anschaulicher sind.

Beweis

Abb. TU01: Zum Beweis von Satz PK75

Abb. TU01: Zum Beweis von Satz PK75

Wir werden die vier gesuchten Punkte konstruieren und zeigen, dass sie die geforderten Eigenschaften haben, dabei mag dem Leser Abb. TU01 beim Nachvollziehen der Beweisschritte helfen. Wir benutzen häufig Satz WI24 ohne darauf explizit hinzuweisen.

Wir gehen von drei nicht kollinearen Punkten \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) aus, deren Existenz nach Inz3 gesichert ist. Auf der Verbindungsgeraden \(\displaystyle B\vgr C\) liegt nun nach Inz5 ein weiterer Punkt \(\displaystyle P\). Es gilt außerdem \(\displaystyle P\neq A\), denn andererseits wäre \(\displaystyle A\vgr B=P\vgr B=B\vgr C\), also \(\displaystyle A\in B\vgr C\), im Widerspruch dass \(\displaystyle A\),\(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) nicht kollinear sind. Weiterhin liegt \(\displaystyle P\) weder auf \(\displaystyle A\vgr B\) noch auf \(\displaystyle A\vgr C\). Denn mit \(\displaystyle P\in A\vgr B\) und \(\displaystyle P\in B\vgr C\) wäre \(\displaystyle P=B\) der eindeutig bestimmte Schnittpunkt der beiden Verbindungsgeraden. Für \(\displaystyle P\notin A\vgr C\) argumentiert man analog.

Die Verbindungsgerade \(\displaystyle A\vgr Q\) enthält wegen Inz5 auch noch einen dritten Punkt \(\displaystyle Q\). Wir zeigen zunächst, dass dieser nicht mit \(\displaystyle B\) oder \(\displaystyle C\) übereinstimmen kann, daher also alle fünf von uns konstruierten Punkte verschieden sind, insbesondere dann auch \(\displaystyle A\),\(\displaystyle B\),\(\displaystyle C\) und \(\displaystyle Q\) verschiedene Punkte sind. Angenommen \(\displaystyle Q=B\), dann wäre wegen \(\displaystyle A\vgr P=A\vgr Q=A\vgr B\) nun sicher \(\displaystyle P\in A\vgr B\), dies hatten wir jedoch oben widerlegt. Man argumentiert wieder analog für \(\displaystyle Q\ne A\).

Bleibt nur noch zu zeigen, dass für die vier Punkte \(\displaystyle A\),\(\displaystyle B\),\(\displaystyle C\) und \(\displaystyle Q\) jedes Tripel nicht auf einer Geraden liegt. Für \(\displaystyle A\),\(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) ist dies klar, da sie genauso gewählt waren.

Wäre \(\displaystyle Q\in A\vgr B\), dann wäre auch \(\displaystyle A\vgr P=Q\vgr A=A\vgr B\), also \(\displaystyle P\in A\vgr B\), was wir oben widerlegt haben. Die drei Punkte \(\displaystyle A\),\(\displaystyle B\) und \(\displaystyle Q\) sind nicht kollinear.

Wäre \(\displaystyle Q\in A\vgr C\), dann wäre auch \(\displaystyle A\vgr P=Q\vgr A=A\vgr C\), also \(\displaystyle P\in A\vgr C\), was wir oben widerlegt haben. Die drei Punkte \(\displaystyle A\),\(\displaystyle C\) und \(\displaystyle Q\) sind nicht kollinear.

Wäre \(\displaystyle Q\in B\vgr C\), dann wäre \(\displaystyle Q\vgr B=B\vgr C=P\vgr B\) Sowohl \(\displaystyle P\) als auch \(\displaystyle Q\) wären der eindeutige Schnittpunkt von \(\displaystyle B\vgr C\), und damit \(\displaystyle P=Q\) im Widerspruch zu oben. Die drei Punkte \(\displaystyle B\),\(\displaystyle C\)

und \(\displaystyle Q\) sind nicht kollinear.\(\displaystyle \qed\)

 

Inz2 ist eine schwächere Formulierung von Inz5, daher können die Axiome Inz1 bis Inz5 nicht unabhängig sein. Es gilt jedoch:

Satz XZ49 (Unabhängigkeit der Axiome der projektiven Ebene)

Die Axiome Inz1, Inz3, Inz4 und Inz5 sind voneinander unabhängig.

Beweis

In Abb. NE34 haben wir Beispiele für Strukturen angegeben, die jeweils ein Axiom erfüllen und die anderen drei verletzen.

Abb. NE34: Zum Beweis der Unabhängigkeit der Axiome der projektiven Ebenen. a) Inz1 verletzt, b) Inz3 verletzt, c) Inz4 verletzt und d) Inz5 verletzt

Abb. NE34: Zum Beweis der Unabhängigkeit der Axiome der projektiven Ebenen. a) Inz1 verletzt, b) Inz3 verletzt, c) Inz4 verletzt und d) Inz5 verletzt

Insbesondere gibt es in Abb. NE34 b) keine drei Punkte in allgemeiner Lage, zwei Geraden schneiden sich aber in einem Punkt, denn dies gilt trivial, da es nur eine Gerade gibt.

In Abb. NE34 c) gibt es parallele Geraden. Es handelt sich hier um eine affine Ebene. Jede affine Ebene mit Geraden mit wenigstens drei Punkten kann hier als Beispiel angeführt werden, also auch die euklidische Anschauungsebene. \(\displaystyle \qed\)

 

Das Axiom Inz5 können wir durch eine schwächere Version ersetzen. Es reicht schon aus, wenn es zwei Geraden mit drei Punkten gibt:

Satz AY86

Gelten die Axiome Inz1, Inz3, Inz4 und gibt es zwei verschiedene Geraden mit mindestens drei Punkten, dann handelt es sich um eine projektive Ebene.

Beweis

Seien \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) die zwei Geraden mit mindestens drei Punkten, dann zeigen wir, dass eine beliebige Gerade \(\displaystyle k\) (\(\displaystyle k\ne g\),\(\displaystyle k\ne h\)) ebenfalls mindestens drei Punkte enthält. Nach Inz4 existiert der Schnittpunkt \(\displaystyle P=g\cap h\). Die beiden folgenden Fälle sind in Abb. NA26 veranschaulicht.

Abb. NA26: Zum Beweis von Satz AY86, a) Fall 1: P\notin k, b) Fall 2: P\in k

Abb. NA26: Zum Beweis von Satz AY86, a) Fall 1: \(\displaystyle P\notin k\), b) Fall 2: \(\displaystyle P\in k\)

Fall 1: \(\displaystyle P\) liegt nicht auf \(\displaystyle k\). Seien \(\displaystyle A=g\cap k\) und \(\displaystyle B=h\cap k\) die Schnittpunkte mit der Geraden \(\displaystyle k\), welchen nach Inz4 existieren und auch verschieden sind. Wegen der Voraussetzung existieren auf \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) jeweils ein weiterer Punkt \(\displaystyle A'\) bzw. \(\displaystyle B'\). Ihre Verbindungsgerade \(\displaystyle A'\vgr B'\) existiert nach Inz1 und ist sicher von \(\displaystyle k\) verschieden. Sei nun \(\displaystyle Q=(A'\vgr B')\cap k\) der Schnittpunkt dieser Verbindungsgeraden mit \(\displaystyle k\). Damit sind \(\displaystyle A\),\(\displaystyle B\) und \(\displaystyle Q\) drei verschiedene Punkte auf der Geraden \(\displaystyle k\).

Fall 2: \(\displaystyle P\) liegt auf \(\displaystyle k\). Seien nun \(\displaystyle A\) bzw. \(\displaystyle B\) von \(\displaystyle P\) verschiedene Punkte, die auf \(\displaystyle g\) bzw. \(\displaystyle h\) liegen und \(\displaystyle g'=A\vgr B\) die Verbindungsgerade von \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\). Da \(\displaystyle g'\) nicht durch \(\displaystyle P\) geht, können wir Fall 1 anwenden und so zeigen, dass \(\displaystyle g'\) mindestens drei Punkte enthält. Nun liegen \(\displaystyle g\), \(\displaystyle g'\) und \(\displaystyle k\) wie im Fall 1, wobei \(\displaystyle A\) die Rolle von \(\displaystyle P\) übernimmt, da \(\displaystyle k\) nicht durch \(\displaystyle A\) geht, können wir Fall 1 tatsächlich anwenden und so zeigen, dass auf \(\displaystyle k\) mindestens drei Punkte liegen. \(\displaystyle \qed\)

 

1   Gino Fano 1871-1952, italienischer Mathematiker

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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