Potenzreihenmethode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Lässt sich eine Differentialgleichung nicht explizit lösen, so gibt es außer Näherungsverfahren (Methode der sukzessiven Approximation) auch die Möglichkeit, gewöhnliche Differentialgleichungen mittels eines Potenzreihenansatzes zu lösen. Kann so meistens auch nicht die vollständige Lösung ermittelt werden, so ergibt sich häufig dennoch eine gutes Näherungs-Polynom. Besonders empfiehlt sich die Methode, wenn es sich bei der Lösung voraussichtlich um ein Polynom handelt.

Dieser Ansatz setzt voraus, dass die Lösung zumindest in der Nähe des Entwicklungspunktes analytisch ist.

Man setzt als Lösung die Potenzreihe

an, wobei $x_0$ der Entwicklungspunkt ist. Dieser ergibt sich aus Anfangswerten oder allgemeinen Überlegungen. Die Potenzreihe (1) wird entsprechend der Ordnung der DGL differenziert und die Ableitungen und die Reihe werden in die zu lösende Gleichung eingesetzt. Der Koeffizientenvergleich ergibt dann ein rekursiv lösbares System von Gleichungen, aus denen sich die $a_k$ bestimmen lassen.

$y'=y$. Wir wissen, dass $y=C\e^x$ die Lösung dieser einfachen DGL ist.

Wir wollen die DGL mittels einer Potenzreihe für $x_0=0$ lösen. Dazu setzen wir

Es ist $y'(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\cdot k\cdot x^{k-1}$ $=\sum\limits_{k=0}^\infty a_{k+1}\cdot (k+1)\cdot x^{k}$; und der Koeffizientenvergleich ergibt:

Mit der rekursiven Definition der Fakultät ist daher $a_k=\dfrac{a_0} {k!}$, und die allgemeine Lösung ergibt sich als die Potenzreihe