Permutationen

Bijektionen einer endlichen Menge \(\displaystyle A=\{a_1,\ldots,a_n\}\) auf sich heißen auch Permutationen.

Da jede endliche Menge mit \(\displaystyle n\)-Elementen gleichmächtig zur Menge \(\displaystyle \{1,2,\ldots, n\}\) ist, benutzt man zur Darstellung der Permutationen meistens diese Menge. Die Permuation \(\displaystyle \pi\) wird dann in der Form

\(\displaystyle \pi=\matrix{{1 2 \cdots n} {{\pi(1)} {\pi(2)} \cdots {\pi(3)}}}\)

Beispiel

Alle Permutationen mit drei Elementen sind:

\(\displaystyle \pi_1=\pmatrix {{1 2 3}\\{1 2 3}}\), \(\displaystyle \pi_2=\pmatrix {{1 2 3}\\{2 3 1}}\), \(\displaystyle \pi_3=\pmatrix {{1 2 3}\\{3 1 2}}\)

\(\displaystyle \pi_4=\pmatrix {{1 2 3}\\{1 3 2}}\), \(\displaystyle \pi_5=\pmatrix {{1 2 3}\\{3 2 1}}\), \(\displaystyle \pi_6=\pmatrix {{1 2 3}\\{2 1 3}}\)

Die identische Permutation \(\displaystyle e\) ist in diesem Beispiel \(\displaystyle \pi_1\).

Die Hintereinanderausführung von Permutationen wird auch als Multiplikation bezeichnet. Allerdings ist zu beachten, dass das Produkt von rechts nach links gebildet wird, da die Permutationen Abbildungen sind.

Im Beispiel ist: \(\displaystyle \pi_2\circ\pi_5= \pmatrix {{1 2 3}\\{2 3 1}}\circ \pmatrix {{1 2 3}\\{3 2 1}} = \pmatrix {{1 2 3}\\{1 3 2}}=\pi_4\).

Die Multiplikation von Permutationen ist im Allgemeinen nicht kommutativ: \(\displaystyle \pi_5\circ\pi_2=\pmatrix {{1 2 3}\\{2 1 3}}=\pi_6\neq\pi_4\).

 
 

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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Grundlagen der Mathematik