Mengenoperationen

Die Mengenoperationen verknüpfen Mengen zu neuen Mengen, indem Eigenschaften der zu konstruierenden Mengen definiert werden.

Folgende Operationen sind die Wichtigsten:

Formal können Mengenoperationen als binäre Operationen auf der Potenzmenge einer Menge angesehen werden.

Alle Mengenoperationen haben gemeinsam, dass sie die Ergebnismenge über logische Verknüpfungen der Elemente der Ausgangsmenge definieren: Also

\(\displaystyle A\circ B=\{ x\, |\, (x\in A) \bullet (x\in B)\}\)

Dabei ist jeder Mengenoperation \(\displaystyle \circ\) die logische Verknüpfung \(\displaystyle \bullet\) zugeordnet. Die folgende Tabelle fasst diese Zuordnungen zusammen. Dabei sind \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) die Mengen und \(\displaystyle a:=x\in A\) bzw. \(\displaystyle b:=x\in B\) die Aussagen über das Enthaltensein in diesen Mengen.

Mengenoperation Symbol Logische Verknüpfung Aussage
Durchschnitt \(\displaystyle A\cap B\) Konjunktion \(\displaystyle a \and b\)
Vereinigung \(\displaystyle A \cup B\) Adjunktion \(\displaystyle a \or b\)
Differenz \(\displaystyle A\setminus B\) Negation der Implikation \(\displaystyle \not(a\implies b)=a\and \not b\)
symmetrische Differenz \(\displaystyle A\Delta B\) Kontravalenz \(\displaystyle a+b=\not(a\iff b)\)

 
 

Mengenfamilien

Unter einer Indexmenge \(\displaystyle I\) versteht man eine beliebige Menge, deren Elemente zum indizieren anderer Mengen dient. Für alle \(\displaystyle i\in I\) seien die \(\displaystyle A_i\) Mengen. Alle \(\displaystyle A_i\) bilden dann eine Mengenfamilie. Ist \(\displaystyle I=\N\), so schreibt man \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle A_3\dots \) für die zur Familie gehörenden Mengen. Im allgemeinen muss die Indexmenge \(\displaystyle I\) nicht abzählbar sein.

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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Grundlagen der Mathematik