Mengenlehre

Man kann ohne Übertreibung behaupten, dass der Begriff der Menge das Fundament der modernen Mathematik bildet. Alle Theorien sind mengentheoretisch aufgebaut.

Naiverweise kann man sich unter einer Menge eine Zusammenfassung von Dingen der realen Welt oder des Denkens zu einer Gesamtheit vorstellen.

Diese Definition geht schon auf Cantor, den Begründer der Mengenlehre, zurück, ist jedoch nicht ganz unproblematisch. Konstrukte wie die "Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten" führt leicht zu Widersprüchen. Dies im Hinterkopf behaltend, wollen wir die ausufernde Mengenbildung nicht zulassen und uns dennoch intuitiv den Mengen nähern.

Für einen axiomatischen Zugang, lese man unter Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre nach.

 
 

Schreibweise

Für Mengen hat sich eine Schreibweise mit geschweiften Klammern eingebürgert. Dabei enthalten diese die Elemente der Menge.

\(\displaystyle \{1,2,3\}\) ist die Menge der Zahlen \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\) und \(\displaystyle 3\).

Die Mengen selbst werden mit großen Buchstaben bezeichnet: \(\displaystyle A=\{1,2,3\}\)

Diese Darstellung ist für Mengen mit einer überschaubaren Anzahl von Elementen geeignet.

Eine andere Möglichkeit besteht in der Angabe einer Eigenschaft \(\displaystyle H\), die für die Elemente der Menge gelten soll. \(\displaystyle \{x|H(x)\}\) ist die Menge aller Objekte \(\displaystyle x\), für die die Eigenschaft \(\displaystyle H(x)\) gilt.

Zum Beispiel {Auto| Auto ist rot} wäre die Schreibweise für alle roten Autos.

Zur Kennzeichnung, dass ein Objekt \(\displaystyle x\) Element der Menge M ist, also zu ihr gehört wird das Symbol \(\displaystyle \in\) verwendet (\(\displaystyle x\in M\)). Für das Nichtenthaltensein wird dementsprechend \(\displaystyle \notin\) verwendet.

Beispiel: \(\displaystyle 2\in\{1,2,3\}\) aber \(\displaystyle 4\notin\{1,2,3\}\).

Leere Menge

Eine besondere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält. Sie wird leere Menge genannt und mit \(\displaystyle \emptyset\) gekennzeichnet. Man kann die leere Menge auch folgendermaßen charakterisieren: \(\displaystyle \emptyset:=\{x|x\neq x\}\).

Beispiel: Die Menge der achtbeinigen Menschen ist mit Sicherheit leer.

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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