Logarithmen

Die Anwendung des Logarithmus, das "Logarithmieren", ist eine Umkehroperation des Potenzierens. Sie löst also die Gleichung \(\displaystyle a = b^x\) nach dem Exponenten \(\displaystyle x\) auf; hier ist der Logarithmus nur ein anderer Begriff für Exponent (Für den Logarithmus als Funktion, siehe Logarithmusfunktion).

 
 

Überblick

Logarithmen erlangten ihre historische Bedeutung durch den Zusammenhang

\(\displaystyle \log(xy) = \log x + \log y,\)

der es erlaubt, eine Multiplikation durch eine Addition auszudrücken.

Formal sind Logarithmen alle Lösungen \(\displaystyle x\) der Gleichung

\(\displaystyle a = b^x\)

zu vorgegebenen Größen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\).

Je nachdem, über welchem Zahlenbereich und für welche Größen diese Gleichung betrachtet wird, hat sie keine, mehrere oder genau eine Lösung. Ist die Lösung eindeutig, dann wird sie als der Logarithmus von \(\displaystyle a\) zur Basis \(\displaystyle b\) bezeichnet und man schreibt

\(\displaystyle x = \log_b a \)

Beispielsweise ist 3 der (reelle) Logarithmus von 8 zur Basis 2, geschrieben \(\displaystyle \log_2 8 = 3\), denn es ist \(\displaystyle 2^3=8\).

Falls die obige Gleichung nach \(\displaystyle b\) aufzulösen ist anstatt nach \(\displaystyle x\), so ist die Lösung gegeben durch die \(\displaystyle x\)-te Wurzel aus \(\displaystyle a\).

Berechnung

Bezeichnungen

Man schreibt als mathematisches Zeichen für den Logarithmus von \(\displaystyle a\) zur Basis \(\displaystyle b\)

\(\displaystyle x = \log_b a\,\)

und sagt: \(\displaystyle x\) ist der Logarithmus von \(\displaystyle a\) zur Basis \(\displaystyle b\) oder auch \(\displaystyle x\) ist der Logarithmus zur Basis \(\displaystyle b\) aus \(\displaystyle a\)' \(\displaystyle a\) heißt Numerus oder veraltet auch Logarithmand.

Für die Vorkommastellen des Logarithmus wird teilweise der Begriff Kennzahl verwendet, und seine Nachkommastellen werden Mantisse genannt.

\(\displaystyle \operatorname{log}_b\,a\)
Das allgemeine mathematischen Zeichen für den Logarithmus. Seltener findet man auch davon abweichende Schreibweisen, wie zum Beispiel \(\displaystyle {}_b \,\!\log a\).
\(\displaystyle \operatorname{log}\,a\)
Das Zeichen \(\displaystyle \log\) ohne eine angegebene Basis wird verwendet, wenn die verwendete Basis keine Rolle spielt, wenn diese getrennt vereinbart wird, aus dem Zusammenhang ersichtlich ist oder aufgrund einer Konvention festgelegt ist. In technischen Anwendungen (so z. B. auf den meisten Taschenrechnern) steht \(\displaystyle \log\) oft für den dekadischen Logarithmus. In theoretischen Abhandlungen steht \(\displaystyle \log\) oft für den natürlichen Logarithmus.
\(\displaystyle \operatorname{ln}\,a\)
logarithmus naturalis bzw. natürlicher Logarithmus, der Logarithmus zur Basis \(\displaystyle e\), der Eulerschen Zahl 2,7182818284590452… ; er wird in Zusammenhang mit Exponentialfunktionen verwendet.
\(\displaystyle \operatorname{lg}\,a\)
dekadischer Logarithmus, auch als Zehnerlogarithmus oder Briggsscher Logarithmus bezeichnet, der Logarithmus zur Basis 10; er wird bei numerischen Rechnungen im Dezimalsystem verwendet.
\(\displaystyle \operatorname{lb}\,a\)
binärer Logarithmus, auch als Zweierlogarithmus bezeichnet, der Logarithmus zur Basis 2; er wird in der Informatik bei Rechnungen im Binärsystem verwendet. Außerhalb der Norm wird mit gleicher Bedeutung auch \(\displaystyle \operatorname{ld}\,a\) logarithmus dualis verwendet.

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis \(\displaystyle \e\) (der eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit "ln" oder oft auch "log" (ohne Subskript) abgekürzt: Wenn \(\displaystyle y = e^x\), dann ist \(\displaystyle x = \log_e y = \ln y\) - oder einfacher formuliert: \(\displaystyle \ln(e^x) = x \).

Die Zahl \(\displaystyle e\) ist z. B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion \(\displaystyle e^x\) sich bei Ableitung nach \(\displaystyle x\) wieder selbst reproduziert, als Formel:

\(\displaystyle \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx} e^x = e^x\, \)

Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis \(\displaystyle e\) in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auf natürliche Weise ohne Vorfaktoren auftreten. Insbesondere lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren.

Der natürliche Logarithmus von \(\displaystyle x\), also \(\displaystyle F(x)=\ln x\) ist eine Stammfunktion der Potenzfunktion \(\displaystyle f(x)=x^{-1}=\dfrac{1}{x}\).

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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G: 14.10.2016 12:00:28 (426 ms; 308 M)

Grundlagen der Mathematik