Inzidenzebenen

Sei \(\displaystyle \pset P\) eine beliebige Menge. Wir nennen die Elemente von \(\displaystyle \mathscr{\pset P}\) Punkte und bezeichnen sie mit Großbuchstaben wie z.B. \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C,P,Q\). Wir stellen uns eine Gerade als eine Menge von Punkten vor. Die Menge der Geraden \(\displaystyle \pset G\) ist also eine Teilmenge der Potenzmenge der Punkte, \(\displaystyle \pset G\subseteq\Pow\pset P\). Die Geraden bezeichnen wir mit lateinischen Kleinbuchstaben wie z.B. \(\displaystyle g\), \(\displaystyle h\), \(\displaystyle l\).

Ein Punkt \(\displaystyle A\) liegt auf einer Geraden \(\displaystyle g\), bzw. \(\displaystyle g\) geht durch \(\displaystyle A\), falls \(\displaystyle A\in g\) (Abb. 1 c). Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie gemeinsame Punkte haben, also \(\displaystyle g\cap h\neq\OO\).

Dass in Abb. 1 b) die Schnittmenge aus genau einem Punkt besteht, ist kein Zufall sondern ein wesentliches Element unserer Geometrie, wie Satz WH94 zeigen wird.

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte aus dieser Menge enthält. In Abb. 1 d) sind \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) kollinear.

Drei Punkte \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) befinden sich in allgemeiner Lage, wenn sie nicht kollinear sind, es also

keine Gerade gibt, die alle drei Punkte enthält (Abb. 1 a). Eine Menge von Punkten ist in allgemeiner Lage, wenn keine drei von ihnen kollinear sind.

Abb. 1: Punkte und Geraden: a) drei Punkte in allgemeiner Lage, b) zwei Geraden, die sich im Punkt A schneiden, c) Punkt A liegt auf der Geraden g, d) drei kollineare Punkte.

Abb. 1: Punkte und Geraden: a) drei Punkte in allgemeiner Lage, b) zwei Geraden, die sich im Punkt \(\displaystyle A\) schneiden, c) Punkt \(\displaystyle A\) liegt auf der Geraden \(\displaystyle g\), d) drei kollineare Punkte.

Nicht zufällig werden alle diese Begriffe so definiert, dass die unserer Anschauung entsprechen. Die Geometrie der Anschauungsebene ist ja genau das Vorbild, nach der diese Begrifflichkeit ausgesucht wurde. Wir werden die Anschauungsebene daher oft zur Darstellung geometrischer Sachverhalte verwenden. Dabei müssen wir jedoch die nötige Vorsicht walten lassen, dass diese Anschauung uns nicht zu Schlüssen verleitet, die durch die Axiomatik nicht gerechtfertigt sind.

 
 

Inzidenzaxiome

Die Lagebeziehungen der Punkte und Geraden zueinander wird Inzidenz genannt. Formal betrachtet ist die Inzidenz als zweistellige Relation eine Teilmenge von \(\displaystyle \pset P\times\pset G\). Im axiomatischen Aufbau der Geometrie bilden die Inzidenzaxiome die erste Gruppe von Axiomen. Sie legen die "Regeln" fest, wie sich Punkte und Geraden zueinander "verhalten" sollen.

Inz1
Für je zwei verschiedene Punkte \(\displaystyle A\neq B\) gibt es genau eine Gerade \(\displaystyle g\), die diese beiden Punkte enthält (\(\displaystyle A,B\in g\)).
Inz2
Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei Punkte.
Inz3
Es gibt mindestens drei Punkte in allgemeiner Lage.

Eine Struktur \(\displaystyle (\pset P,\pset G)\) wobei \(\displaystyle \pset G\subseteq\Pow\pset P\), die den Axiomen Inz1 bis Inz3 genügt, heißt Inzidenzstruktur oder Inzidenzebene.

Inz1 sichert, dass wir zwei verschiedene Punkte durch eine Gerade verbinden können und Inz2 sorgt dafür, dass diese Geraden auch Punkte enthalten. Durch Inz3 wird die Inzidenzebene wirklich zu einer Ebene und kann nicht zu einer eindimensionalen Struktur, wo alle Punkte auf einer Geraden liegen, degradieren. Außerdem ist durch dieses Axiom gesichert, dass es überhaupt Punkte gibt und mit Inz1, dass auch Geraden existieren.

Die Gerade aus Inz1 wird auch die Verbindungsgerade der beiden Punkte \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) genannt und mit \(\displaystyle A\vgr B\) bezeichnet.

Satz WH94

Zwei verschiedene Geraden einer Inzidenzstruktur haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Beweis

Seien \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) zwei verschiedene Geraden, die die Punkte \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) \(\displaystyle (A\ne B)\) gemeinsam haben. Dann gibt es nach Inz1 genau eine Gerade, die diese beiden Punkte enthält. Sowohl \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) müssen diese Verbindungsgerade sein, im Widerspruch zu \(\displaystyle g\ne h\). \(\displaystyle \qed\)

Falls dieser gemeinsame Punkt zweier Geraden \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) existiert wird er Schnittpunkt genannt. Satz WH94 rechtfertigt es, von dem Schnittpunkt zu sprechen, da es ja höchstens einen geben kann.

Satz SU09

Für das Lageverhältnis von zwei Geraden in einer Inzidenzebene gibt es genau drei sich gegenseitig

ausschließende Möglichkeiten:

  1. \(\displaystyle g=h\)
  2. \(\displaystyle g\cap h=\OO\)
  3. \(\displaystyle g\cap h=\{P\}\) wobei \(\displaystyle P\) der eindeutig bestimmte Schnittpunkt ist.

Beweis

Ergibt sich als direkte Folgerung von Satz WH94. \(\displaystyle \qed\)

Wegen Fall (iii) ist damit die Schreibweise \(\displaystyle g\cap h=P\) gerechtfertigt.

Satz JO42

In einer Inzidenzebene gilt: Zu jedem festgehaltenen Punkt \(\displaystyle P\) gibt es zwei verschiedene Punkte \(\displaystyle A\) und

\(\displaystyle B\), sodass \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle P\) in allgemeiner Lage sind.

Beweis

Andernfalls wären alle Punktetripel, die \(\displaystyle P\) enthalten kollinear, das bedeutet letztlich aber, dass alle Punkte kollinear sind, da nach Inz1 die Verbindungsgerade zweier Punkte eindeutig bestimmt ist. Damit gäbe es aber überhaupt keine drei Punkte in allgemeiner Lager im Widerspruch zu Inz3. \(\displaystyle \qed\)

Es gilt eine zu Inz2 duale Aussage:

Satz QQ23

Durch jeden Punkt einer Inzidenzebene gehen mindestens zwei Geraden.

Beweis

Für den Punkt \(\displaystyle P\) finden wir nach Satz JO42 zwei Punkte \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\), sodass alle drei in allgemeiner Lage sind. Dann sind ihre Verbindungsgeraden \(\displaystyle A\vgr B\), \(\displaystyle B\vgr C\) und \(\displaystyle C\vgr A\) nach Inz1 verschieden. Jeder Punkt liegt nun aber auf zwei dieser Verbindungsgeraden. Da dies für beliebige drei Punkte gilt, gilt es für alle Punkte der Inzidenzstruktur. \(\displaystyle \qed\)

Damit sieht man sofort, dass die in Abb. 1 gezeigten Strukturen keine Inzidenzebenen sind.

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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Geometrie