Graphentheorie

Die Graphentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Eigenschaften von Graphen und ihre Beziehungen zueinander untersucht.

Dadurch, dass einerseits viele algorithmische Probleme auf Graphen zurückgeführt werden können und andererseits die Lösung graphentheoretischer Probleme oft auf Algorithmen basiert, ist die Graphentheorie auch in der Informatik, insbesondere der Komplexitätstheorie, von großer Bedeutung. Die Untersuchung von Graphen ist auch Inhalt der Netzwerktheorie.

Auf den ersten Blick scheint die Graphentheorie eher eine abstrakte und realitätsferne Disziplin der Mathematik zu sein. Tatsächlich lassen sich aber sehr viele Alltagsprobleme mit Hilfe von Graphen modellieren.

 
 

Betrachteter Gegenstand

In der Graphentheorie ist ein Graph eine Menge von Punkten (man nennt diese dann Knoten oder auch Ecken), die eventuell durch Linien (sog. Kanten bzw. Bögen) miteinander verbunden sind. Die Form der Punkte und Linien spielt in der Graphentheorie keine Rolle.

Man unterscheidet dabei zwischen:

  • endlichen Graphen, bei denen die Menge der Knoten und Kanten endlich ist und unendlichen Graphen, auf die dies nicht zutrifft sowie

Komplexere Graphentypen sind:

Je nach Problemstellung können Knoten und Kanten auch mit Farben (formal mit natürlichen Zahlen) oder Gewichten (d. h. rationalen oder reellen Zahlen) versehen werden. Man spricht dann von knoten- bzw. kantengefärbten oder -gewichteten Graphen.

Exakte Definitionen der verschiedenen Graphentypen findet man im Artikel Typen von Graphen in der Graphentheorie.

Grundlegende Begriffe und Probleme

Die Graphentheorie definiert eine Vielzahl von grundlegenden Begriffen, deren Kenntnis zum Verständnis von wissenschaftlichen Abhandlungen unbedingt vonnöten ist. Glücklicherweise sind die Begriffe in der Mehrheit sehr intuitiv bezeichnet, so dass man diese schnell erlernen kann und nur gelegentlich die genaue Definition nachschlagen muss. Vor der Lektüre weitergehender graphentheoretischer Artikel empfiehlt sich daher insbesondere das Lesen der folgenden Artikel:

Weitere grundlegende Begriffe findet man in:

  • Repräsentation von Graphen im Computer

Graphen können verschiedene Eigenschaften haben. So kann ein Graph zusammenhängend, bipartit, planar, eulersch oder hamiltonisch sein. Es kann nach der Existenz spezieller Teilgraphen gefragt werden oder bestimmte Parameter untersucht werden, wie zum Beispiel Knotenzahl, Kantenzahl, Minimalgrad, Maximalgrad, Taillenweite, Durchmesser, Knotenzusammenhangszahl, Kantenzusammenhangszahl, chromatische Zahl, Stabilitätszahl oder Cliquenzahl.

Die verschiedenen Eigenschaften können zueinander in Beziehung stehen. Die Beziehungen zu untersuchen ist eine Aufgabe der Graphentheorie. Beispielsweise ist die Knotenzusammenhangszahl immer kleiner als die Kantenzusammenhangszahl, welche wiederum immer kleiner als der Minimalgrad des betrachteten Graphen ist. In ebenen Graphen ist die Färbungszahl immer kleiner als 5. Diese Aussage ist auch als der Vier-Farben-Satz bekannt.

Einige der aufgezählten Grapheneigenschaften sind relativ leicht algorithmisch bestimmbar, das heißt, die entsprechenden Algorithmen benötigen in Abhängigkeit der Größe der Graphen nur wenig Zeit, um die Grapheneigenschaft zu berechnen. Andere Eigenschaften sind praktisch auch mit Computer unlösbar.

Die wichtigsten Probleme und Ergebnisse der Graphentheorie werden in folgenden Artikeln dargestellt:

Geschichte

Die Anfänge der Graphentheorie gehen bis in das Jahr 1736 zurück. Damals publizierte Leonhard Euler eine Lösung für das Königsberger Brückenproblem. Die Frage war, ob es einen Rundgang durch die Stadt Königsberg – heute Kaliningrad – gibt, der jede der sieben Brücken über den Fluss Pregel genau einmal benutzt. Euler konnte für dieses Problem eine notwendige Bedingung angeben, und so die Existenz eines solchen Rundganges verneinen. Eine hinreichende Bedingung, sowie einen effizienten Algorithmus, der in einem Graphen einen solchen Rundgang finden kann, wurde erst 1873 von Hierholzer angegeben. Der Begriff Graph wurde 1878 erstmals von dem Mathematiker Sylvester in der Literatur erwähnt und leitete sich von der graphischen Notation chemischer Strukturen ab.

Anwendungen

Wie oben erläutert können mit Hilfe von Graphen viele Probleme modelliert werden.

Geradezu klassisch ist die Aufgabe eine kürzeste Route zwischen zwei Orten zu finden. Sie lässt sich mit Graphen lösen, in dem das Straßennetz geeignet als kantengewichteten Graphen modelliert und in diesem mit Hilfe des Algorithmus von Dijkstra effizient ein kürzester Weg berechnet wird.

Ähnlich, aber algorithmisch deutlich schwieriger ist die Bestimmung einer kürzesten Rundreise (siehe Problem des Handlungsreisenden), bei der alle Orte eines Netzwerkes genau einmal besucht werden müssen. In der Praxis wird man Orte auch mehrfach besuchen können. Dann gilt indirekt die Dreiecksungleichung und in diesem Fall kann mit Approximationsalgorithmen gearbeitet werden, die eine Rundreise finden, die höchstens doppelt (MST-Heuristik) oder höchstens 1,5-mal (Christofides-Heuristik) so lang wie die kürzeste Rundreise sind.

Prominent ist auch das Problem die Länder einer Landkarte mit möglichst wenig Farben so zu färben, dass aneinander angrenzende Länder nicht die selbe Farbe erhalten. Hier wird die Landkarte ebenfalls in einen Graphen übersetzt und dann versucht mit einem Algorithmus dieses Problem zu lösen. Ähnlich wie beim Problem des Handlungsreisenden lässt sich dieses Problem nach heutigem Wissensstand selbst mit Computern ab einer gewissen Größe der Landkarte nicht in vernünftiger Zeit exakt lösen. Das Problem, allgemeine Graphen optimal zu färben, gilt als eines der schwierigsten Probleme in der Klasse der NP-vollständigen Probleme überhaupt. Unter der Voraussetzung \(\displaystyle P\neq NP\) (siehe P/NP-Problem) ist selbst eine approximative Lösung nicht bis auf einen konstanten Faktor möglich.

Visualisierung

Im Bereich der Computergrafik ist die Visualisierung von Graphen eine Herausforderung. Besonders komplexe Netze werden erst durch ausgefeilte Autolayout-Algorithmen übersichtlich.

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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