Gleichmächtigkeit von Mengen

Der Begriff der Bijektion kann benutzt werden um die Gleichmächtigkeit von Mengen zu definieren. Anschaulich bedeutet, dass zwei Mengen gleichmächtig sind, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen enthalten. Da es bei unendlichen Mengen aber schwierig ist, von Anzahlen zu sprechen definieren wir:

Zwei Mengen \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) heißen gleichmächtig (\(\displaystyle A\sim B\)) genau dann, wenn es eine Bijektion von \(\displaystyle A\) auf \(\displaystyle B\) gibt.

 
 

Satz 12MQ

Für die Gleichmächtigkeit \(\displaystyle \sim\) gelten folgende Eigenschaften:

  1. Reflexivität \(\displaystyle A\sim A\)
  2. Symmetrie \(\displaystyle A\sim B \implies B\sim A\)
  3. Transitivität \(\displaystyle A\sim B \and B\sim C \implies A\sim C\)

Damit ist die Gleichmächtigkeit eine Äquivalenzrelation.

Beweis

Vor der Richtigkeit dieser Beziehungen überzeugt man sich leicht. Die Reflexivität ergibt sich daraus, dass die identische Abbildung eine Bijektion ist. Die Symmetrie erhält man aus der Tatsache, dass die Umkehrung einer Bijektion wieder bijektiv ist. Und die Transitivität ergibt sich daraus, dass die Verknüpfung zweier bijektiver Abbildungen wieder bijektiv ist. (siehe Satz 15XJ) \(\displaystyle \qed\)

Die Vereinigungen von Mengen sind gleichmächtig, wenn die einzelnen Mengen disjunkt sind:

\(\displaystyle A_1\sim A_2 \and B_1\sim B_2 \and A_1\cap B_1=\emptyset \and A_2\cap B_2=\emptyset \implies A_1\cup B_1 \sim A_2\cup B_2\)

Außerdem gilt:

\(\displaystyle A_1\sim A_2 \and B_1\sim B_2 \implies A_1\cross B_1 \sim A_2\cross B_2\)

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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Grundlagen der Mathematik