Endlichkeit von Mengen

Eine Menge \(\displaystyle M\) heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl \(\displaystyle n\) gibt, so dass \(\displaystyle M\) gleichmächtig zur Menge \(\displaystyle A_n=\{0,1,\ldots,n-1\}\) \(\displaystyle =\{ m| \, m\in \dom N \and m<n\}\) ist. Alle anderen Mengen heißen unendlich.

Anschaulich bedeutet Endlichkeit nichts anderes, als dass die Menge mit den Zahlen \(\displaystyle 0,\ldots,n-1\) durchnumeriert werden kann (was gleichbedeutend ist, dass sie mit den Zahlen \(\displaystyle 1,\ldots,n\) durchnummeriert werden kann).

Die Zahl \(\displaystyle n\) mit der \(\displaystyle A_n\sim M\) gilt wird auch Kardinalzahl genannt und es wird \(\displaystyle \card M =n\) für \(\displaystyle A_n\sim M\) geschrieben.

Die leere Menge ist damit eine endliche Menge, für sie gilt nämlich: \(\displaystyle \emptyset\sim A_0\) und damit \(\displaystyle \card\emptyset=0\).

 
 

Satz 5305B (Eigenschaften endlicher Mengen)

Seien \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) zwei endliche Mengen und \(\displaystyle C\) eine beliebige Menge, dann gilt:

  1. Jede Teilmenge von \(\displaystyle A\) ist endlich
  2. \(\displaystyle A\cup B\) ist endlich \(\displaystyle \card (A\cup B)\leq \card A+\card B\)
  3. \(\displaystyle A\cap C\) ist endlich \(\displaystyle \card (A\cap C)\leq \min (\card A,\card C)\)
  4. \(\displaystyle \card (A\cup B)=\card A+\card B\) \(\displaystyle \iff A\cap B=\emptyset\)
  5. \(\displaystyle A\setminus C\) ist endlich
  6. \(\displaystyle \card(\Pow(A))=2^{\card A}\)

Man könnte nun annehmen, dass es nur eine Art der Unendlichkeit gibt. Leider ist dem nicht so. Denn es gilt der:

Satz 5305A (Ungleichmächtigkeit der Potenzmenge)

Keine Menge ist mit ihrer Potenzmenge gleichmächtig. Für keine Menge \(\displaystyle A\) gilt also \(\displaystyle A\sim \Pow(A)\).

Insbesondere muss die Unendlichkeit der Potenzmenge einer unendlichen Menge eine andere Art von Unendlichkeit sein.

Beweis

Sei \(\displaystyle f: A\rightarrow \Pow(A)\) eine beliebige injektive Abbildung. Wir zeigen, dass \(\displaystyle f\) nicht surjektiv ist. Wir betrachten die folgende Menge \(\displaystyle X:=\{a| a\in A \and a\notin f(a)\}\). Jetzt zeigen wir, dass \(\displaystyle X\) kein Urbild besitzen kann. Nehmen wir an es gibt ein \(\displaystyle x\in A\) mit \(\displaystyle f(x)=X\). Dann gilt \(\displaystyle x\in f(x) \iff x\in X \iff x\notin f(x)\), was ein Widerspruch ist. \(\displaystyle \qed\)

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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Mengenlehre