Analytische Geometrie der Ebene

Einen Punkt \(\displaystyle A\) der euklidischen Ebene \(\displaystyle \dom {R ^2}\) kann man als Ortsvektor \(\displaystyle a\) auffassen, der durch eine \(\displaystyle x\)- und eine \(\displaystyle y\)-Koordinate charakterisiert ist. Man schreibt dann \(\displaystyle A(a_x;\, a_y)\) oder \(\displaystyle A(a_x|a_y)\).

Der Vektor wird häufig in Spaltenschreibweise als:

\(\displaystyle a=\pmatrix { a_x\\ a_y}\)

angegeben.

Der Abstand \(\displaystyle d\) des Punktes \(\displaystyle A\) vom Ursprung entspricht genau der Norm des Vektors \(\displaystyle a\) (Schreibweise: \(\displaystyle ||a||\)) und wird mit der üblichen euklidischen Metrik ermittelt, die elementargeometrisch dem Satz des Pythagoras entspricht:

\(\displaystyle d=||a||=\sqrt {a_x^2+a_y^2}\)

Für zwei Punkte \(\displaystyle A(a_x|a_y)\) und \(\displaystyle B(b_x|b_y)\) ergibt sich dem Abstand \(\displaystyle d\) voneinander mit:

\(\displaystyle d=||a-b||=\sqrt{(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2 }\),

was genau der Norm der Differenz entspricht.

 
 

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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Geometrie