Analysis

Die Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.

Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie.

Die Methoden der Analysis sind in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung.

 
 

Differentialrechnung

Bei einer linearen Funktion bzw. einer Geraden

\(\displaystyle g(x) = mx + c \)

heißt \(\displaystyle m\) die Steigung und \(\displaystyle c\) der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte \(\displaystyle (x_0, y_0)\) und \(\displaystyle (x_1, y_1)\) auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch

\(\displaystyle m = \dfrac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} \).

Bei nicht linearen Funktionen wie z.B. \(\displaystyle f(x) = x^2\) kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da diese eine Kurve beschreiben und somit keine Gerade ist. Jedoch kann man an einen Punkt \(\displaystyle (x_0, f(x_0))\) eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle \(\displaystyle x_0\) berechnen kann. Wählt man jetzt eine Stelle \(\displaystyle x_1\) ganz nahe bei \(\displaystyle x_0\) und legt eine Gerade durch die Punkte \(\displaystyle (x_0, f(x_0))\) und \(\displaystyle (x_1, f(x_1))\), so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist

\(\displaystyle m = \dfrac{f(x_0) - f(x_1)}{x_0 - x_1} \).

Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle \(\displaystyle x_1\) immer weiter an \(\displaystyle x_0\) annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben

\(\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x} \)

und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von \(\displaystyle f\) in \(\displaystyle x_0\). Der Ausdruck \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\) bedeutet, dass \(\displaystyle x\) immer weiter an \(\displaystyle x_0\) angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen \(\displaystyle x\) und \(\displaystyle x_0\) unendlich klein wird. Wir sagen auch: "\(\displaystyle x\) geht gegen \(\displaystyle x_0\)". Die Bezeichnung \(\displaystyle \lim\) steht für Limes.

\(\displaystyle f^\prime (x_0)\) ist der ''Grenzwert'' des Differenzenquotienten.

Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion \(\displaystyle f\) heißt differenzierbar an der Stelle \(\displaystyle x_0\), wenn der Grenzwert \(\displaystyle f^\prime (x_0)\) existiert.

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über.

\(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx := \lim_{n \to \infty} \dfrac{b-a}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} f\braceNT{a+i \dfrac{b-a}{n}}\)

Die obige Folge konvergiert, falls \(\displaystyle f\) gewisse Bedingungen (wie z. B. Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem so genannten Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird.

In der so genannten Höheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. das Lebesgue-Integral betrachtet.

Hauptsatz der Analysis

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis invers zueinander.

\(\displaystyle \over{d}{ dx} \braceNT{\int\limits f(x) dx}= \int\limits\braceNT{\over{d}{ dx}f(x)}dx = f(x) \)

Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt die grundlegenden Konzepte nicht, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine reichere mathematische Vielfalt.

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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