Affine Ebenen

Parallelität

Zwei verschiedene Geraden \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) heißen parallel \(\displaystyle g\para h\), wenn sie übereinstimmen oder keinen Punkt gemeinsam haben:

\(\displaystyle g\para h\iff g=h\,\vee\, g\cap h=\OO\).

Wir schreiben \(\displaystyle g\npara h\) falls \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) nicht parallel sind.

Mit dieser Definition kann Satz SU09 auch wie folgt formuliert werden: zwei Geraden sind entweder parallel oder sie haben einen Schnittpunkt bzw:

 
 

Satz UU90

Zwei nicht parallele Geraden einer Inzidenzstruktur haben genau einen Schnittpunkt.

Beweis

Ergibt sich direkt aus Satz SU09 und der Definition der Parallelität. \(\displaystyle \qed\)

Satz UK27

In einer Inzidenzstruktur ist die Parallelität eine eine reflexive und symmetrische Relation.

Beweis

Mit \(\displaystyle g=g\) gilt sicher \(\displaystyle g\para g\) und die Parallelität ist reflexiv.

\(\displaystyle g\para h\implies g=h\) oder \(\displaystyle g\cap h=\OO\implies h=g\) oder \(\displaystyle h\cap g=\OO\implies h\para g\), womit die Parallelität symmetrisch ist. \(\displaystyle \qed\)

Satz PW02 (Kollineationen erhalten die Parallelität)

Sei \(\displaystyle \varphi\) eine Kollineation, dann gilt für beliebige Geraden \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\): aus \(\displaystyle g\para h\) folgt \(\displaystyle \varphi(g)\para\varphi(h)\).

Beweis

Für \(\displaystyle g=h\) gilt die Behauptung trivial. Sei also \(\displaystyle g\ne h\) und \(\displaystyle \varphi(g)\npara\varphi(h)\), dann gibt es nach Satz UU90 einen Punkt \(\displaystyle P=\varphi(g)\cap\varphi(h)\), also muss \(\displaystyle \varphi^{-1}(P)\in g,h\), im Widerspruch zu \(\displaystyle g\para h\). \(\displaystyle \qed\)

 

In der minimalen affinen Koordinatenebene aus Beispiel CK37 gilt \(\displaystyle g_{i}\para h_{i}\) für \(\displaystyle i=1,2,3\). Es gibt also zwei Klassen mit jeweils 3 parallelen Geraden. Dies ist kein Zufall, denn es gilt:

Das Parallelenaxiom

Abb. KB50: Veranschaulichung des Parallelenaxioms

Abb. KB50: Veranschaulichung des Parallelenaxioms

In der minimale Inzidenzebene aus Beispiel AJ15 gibt es keine verschiedenen parallelen Geraden, da je zwei Geraden einen Punkt gemeinsam haben. Man fordert jedoch die Existenz bestimmter Parallelen zu existierenden Geraden.

ParAx
Zu jedem Punkt \(\displaystyle A\) und jeder Gerade \(\displaystyle g\) gibt es genau eine parallele Gerade \(\displaystyle h\), auf der \(\displaystyle A\) liegt, also \(\displaystyle h\para g\) und \(\displaystyle A\in h\).

Eine Inzidenzebene, in der das Parallelenaxiom gilt, heißt affine Ebene.

Die parallele Gerade zu einer Gerade \(\displaystyle g\) durch einen Punkt \(\displaystyle P\) wird im Folgenden mit \(\displaystyle P\parad g\) bezeichnet.

Beispiel UI60 (Minimale affine Ebene)

Abb. UT85: Minimale affine Ebene

Abb. UT85: Minimale affine Ebene

Die minimale Inzidenzebene aus Beispiel AJ15 ist keine affine Ebene. Wie sieht nun die minimale affine Ebene aus? Sie muss mindestens 4 Punkte enthalten. Betrachten wir also eine Struktur mit vier Punkten, wo die Geraden alle Punktepaare sind, so ist dies nach Beispiel AV45 eine Inzidenzebene. Sie ist in Abb. UT85 veranschaulicht. Es gilt \(\displaystyle g_{k}\para h_{k}\) für \(\displaystyle k=1,2,3\). Es gilt das Parallelenaxiom, denn zu jeder Geraden \(\displaystyle g_{k}\) gibt es genau eine Parallele \(\displaystyle h_{k}\) und diese ist dann die Parallele für jeweils zwei nicht auf \(\displaystyle g_{k}\) liegende Punkte. Damit haben wir auch ein Modell für eine affine Inzidenzebene gefunden. Diese affine Ebene ist isomorph zur minimalen affinen Koordinatenebene aus Beispiel CK37.

Beispiel

Abb. HQ71: Inzidenzebene, in der das Parallelenaxiom nicht gilt

Abb. HQ71: Inzidenzebene, in der das Parallelenaxiom nicht gilt

Dieses Beispiel zeigt, dass es auch mehrere parallele Geraden durch einen Punkt zu einer vorgegebenen Gerade geben kann. Wir betrachten die Inzidenzstruktur aus Abb. HQ71, die der Inzidenzebene aus Beispiel AV45 mit fünf Punkten entspricht. (Die Geraden sind genau die Punktepaare.) Zur Geraden \(\displaystyle g\) gibt es nun drei parallele Geraden \(\displaystyle h_{1}\),\(\displaystyle h_{2}\) und \(\displaystyle h_{3}\), die sich jeweils paarweise in einem Punkt schneiden. Damit gibt es

zum Punkt \(\displaystyle D\), der nicht auf \(\displaystyle g\) liegt, zwei parallele Geraden zu \(\displaystyle g\), die \(\displaystyle D\) enthalten, nämlich: \(\displaystyle h_{2}\) und \(\displaystyle h_{3}\).

 

Das Parallelenaxiom ist nicht unabhängig von den drei Inzidenzaxiomen, es gilt:

Satz KR98

Aus Inz1, Inz3 und ParAx folgt Inz2.

Beweis

Angenommen es gelten Inz1, Inz3, ParAx und nicht Inz2. Wir werden dies zu einem Widerspruch führen. Nicht Inz2 bedeutet, dass es eine Gerade mit weniger als zwei Punkten gibt. Dazu unterscheiden wir nun zwei Fälle. Zur Veranschaulichung der beiden Fälle dient Abb. RX83.

Abb. RX83: Zum Beweis von Satz KR98 a) Fall 1 mit einer Gerade g ohne Punkte, b) Fall 2 mit einer Geraden g mit genau einem Punkt P.

Abb. RX83: Zum Beweis von Satz KR98 a) Fall 1 mit einer Gerade \(\displaystyle g\) ohne Punkte, b) Fall 2 mit einer Geraden \(\displaystyle g\) mit genau einem Punkt \(\displaystyle P\).

Fall 1: Es gibt eine Gerade \(\displaystyle g\) ohne Punkte.

Nach Inz3 gibt es drei Punkte \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) in allgemeiner Lage und nach Inz1 gibt es durch jeweils zwei von ihnen eine eindeutig bestimmte Gerade. Diese Geraden haben mit \(\displaystyle g\) keine gemeinsamen Punkte, da \(\displaystyle g\) ja keine Punkte enthält, damit sind sie alle zu \(\displaystyle g\) parallel. Der Punkt \(\displaystyle A\) liegt auf den Verbindungsgeraden \(\displaystyle A\vgr B\) und \(\displaystyle A\vgr C\), damit ist aber das Parallelenaxiom verletzt, da es zwei parallele Geraden zu \(\displaystyle g\) gibt, die durch \(\displaystyle A\) gehen.

Fall 2: Es gibt eine Gerade \(\displaystyle g\) mit genau einem Punkt \(\displaystyle P\).

Dann gibt es nach Satz JO42 zwei Punkte \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\), sodass diese mit \(\displaystyle P\) in allgemeiner Lage sind. Nach Inz1 existiert für \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle P\) die Verbindungsgerade \(\displaystyle A\vgr P\). Nach ParAx gibt es genau eine parallele Gerade \(\displaystyle h\) zur Verbindungsgerade \(\displaystyle A\vgr P\) durch den Punkt \(\displaystyle B\). Wegen dieser Parallelität liegt \(\displaystyle P\) nicht auf \(\displaystyle h\) und da \(\displaystyle g\) nur den Punkt \(\displaystyle P\) enthält, haben \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) keine Punkte gemeinsam, sind nach Definition also parallel.

Damit sind sowohl \(\displaystyle g\) als auch die Verbindungsgerade \(\displaystyle A\vgr P\) zwei verschiedene zu \(\displaystyle h\) parallele Geraden durch \(\displaystyle P\) im Widerspruch zu ParAx. \(\displaystyle \qed\)

Damit können wir in affinen Ebenen ein Axiom einsparen und diese nur durch Inz1, Inz3 und ParAx axiomatisieren.

Satz DT42 (Unabhängigkeit der Axiome der affinen Ebene)

Die drei Axiome Inz1, Inz3 und ParAx sind unabhängig voneinander.

Beweis

Abb. QT71: Zur Unabhängigkeit der Axiome der affinen Ebene (Satz DT42).

Abb. QT71: Zur Unabhängigkeit der Axiome der affinen Ebene (Satz DT42).

Die isolierten drei Punkte aus Abb. QT71 a) liefern ein Beispiel, in dem Inz3 und ParAx gelten (das Parallelenaxiom trivial, da es gar keine Geraden gibt) jedoch Inz1 nicht.

Abb. QT71 b) zeigt ein Beispiel, das Inz3 verletzt, da es nur die beiden Punkte \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) gibt. Sie sind durch eine Gerade verbunden, womit Inz1 gilt und da es keinen weiteren Punkt gibt, gilt ParAx offensichtlich.

Die minimale Inzidenzebene aus Beispiel AJ15 - siehe Abb. QT71 c) - erfüllt Inz1 und Inz3. Es schneiden sich jedoch jeweils zwei Geraden, also gilt ParAx nicht. \(\displaystyle \qed\)

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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Geometrie